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<!DOCTYPE html>

<title>Nullmenge</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Nullmenge</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Als Nullmenge (oder auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-Nullmenge) bezeichnet man in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eines <a href="Ma%C3%9Fraum" title="Maßraum">Maßraums</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22ed3b570455214147b8afded02ac578a0ba86e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}" loading="lazy"> (genauer: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist ein Element der zugehörigen <a href="%CE%A3-Algebra" title="Σ-Algebra">σ-Algebra</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }" loading="lazy">), die das <a href="Ma%C3%9F_(Mathematik)" title="Maß (Mathematik)">Maß</a> null hat. Sie ist nicht mit der <a href="Leere_Menge" title="Leere Menge">leeren Menge</a> zu verwechseln; tatsächlich kann eine Nullmenge sogar unendlich viele Elemente enthalten.

Manche Autoren nehmen in der Definition von Nullmenge auch <a href="Vernachl%C3%A4ssigbare_Menge" class="mw-redirect" title="Vernachlässigbare Menge">vernachlässigbare Mengen</a> hinzu, d. h. solche, die Teilmenge einer Nullmenge, aber nicht notwendigerweise Element der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">-Algebra sind und denen deswegen selbst eventuell kein Maß zugeordnet ist. Wird allen Mengen, die sich nur um eine solche vernachlässigbare Menge von einem Element der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">-Algebra unterscheiden, ebenfalls ein Maß zugeordnet, spricht man von der <a href="Vollst%C3%A4ndiges_Ma%C3%9F" title="Vollständiges Maß">Vervollständigung</a> des Maßes, wie sie etwa in der Definition des <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maßes</a> verwendet wird.

Von einer Eigenschaft, die für alle Elemente des Maßraums außerhalb einer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-Nullmenge gilt, sagt man, dass sie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-<a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a> gilt. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> ein <a href="Wahrscheinlichkeitsma%C3%9F" title="Wahrscheinlichkeitsmaß">Wahrscheinlichkeitsmaß</a>, so sagt man auch „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-<a href="Fast_sicher" title="Fast sicher">fast sicher</a>“ anstelle von „<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-fast überall“.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0b82ce83307f027b4067673af86941a4fada4d7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.802ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}" loading="lazy"> ein Maßraum.

<ul><li>Die leere Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \emptyset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \emptyset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6af50205f42bb2ec3c666b7b847d2c7f96e464c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:1.162ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \emptyset }" loading="lazy"> bildet eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-Nullmenge.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/959d4b1bd555461352dd03784cc7644f26e110be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.272ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}" loading="lazy"> eine Folge von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-Nullmengen, dann ist auch deren (abzählbare) Vereinigung eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-Nullmenge, d. h., es gilt</li></ul>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/563d68551dd8a8feb7b21a270c76d3b450983e5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:16.996ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=0.}" loading="lazy"></dd></dl></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</h3></div>

Für das <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/093ee22c3daf31b92ff5fa04ba0ce7862283e90c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.574ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{n}}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> gilt:

<ul><li>Eine Teilmenge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> eine Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(I_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}">

<msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(I_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38994613a4c2a727e43552a922fb51510d37ecd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:6.715ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \left(I_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }}" loading="lazy"> von achsenparallelen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen <a href="Hyperw%C3%BCrfel" title="Hyperwürfel">Würfeln</a> oder <a href="Hyperrechteck" title="Hyperrechteck">Quadern</a> existiert mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\subset \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }I_{i}}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\subset \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }I_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/258a2f8e9a60b942cb671e9b5d38e8599b37cc9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:10.222ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle N\subset \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }I_{i}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{n}\left(I_{i}\right)<\varepsilon }">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{n}\left(I_{i}\right)<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6288cc723632df6fdfffcd6d64c6928e8b6ff68.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:14.517ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{n}\left(I_{i}\right)<\varepsilon }" loading="lazy">.<a href="#cite_note-broecker_jaenich-1">[1]</a><a href="#cite_note-amann_escher_lbsg-2">[2]</a></li>

<li>Jede abzählbare Teilmenge des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> ist eine Nullmenge. Insbesondere ist die Menge der <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationalen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {Q} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.808ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {Q} }" loading="lazy"> in der Menge der <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen Zahlen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine Nullmenge.</li>

<li>Jeder echte <a href="Untervektorraum" title="Untervektorraum">Untervektorraum</a>, insbesondere jede <a href="Hyperebene" title="Hyperebene">Hyperebene</a>, des <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> ist eine Nullmenge. Dasselbe gilt für <a href="Affiner_Unterraum" title="Affiner Unterraum">affine Unterräume</a> und <a href="Untermannigfaltigkeit" title="Untermannigfaltigkeit">Untermannigfaltigkeiten</a>, deren Dimension kleiner als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ist.</li>

<li>Die <a href="Cantor-Menge" title="Cantor-Menge">Cantor-Menge</a> ist eine überabzählbare Nullmenge in der Menge der reellen Zahlen.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Inhalte_auf_Halbringen">Inhalte auf Halbringen</h3></div>

Man kann Nullmengen auch allgemeiner für Elemente eines <a href="Halbring_(Mengensystem)" title="Halbring (Mengensystem)">Halbringes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> definieren. Eine Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {H}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {H}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19ef4c7b923a5125ac91aa491838a95ee15b804f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.964ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {H}}}" loading="lazy"> heißt Nullmenge, wenn für den <a href="Ma%C3%9Ftheorie#Inhalt" title="Maßtheorie">Inhalt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu (A)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu (A)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb31cb69e717997b331a32910b5bb51b475df30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.215ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu (A)=0}" loading="lazy">. Diese Verallgemeinerung beinhaltet sowohl die obige Definition, da jede <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy">-Algebra auch ein Halbring ist und jedes Maß auch ein Inhalt ist, als auch den Fall für <a href="Mengenring" class="mw-redirect" title="Mengenring">Ringe</a> und <a href="Pr%C3%A4ma%C3%9F" title="Prämaß">Prämaße</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Differenzierbare_Mannigfaltigkeiten">Differenzierbare Mannigfaltigkeiten</h3></div>

Für <a href="Differenzierbare_Mannigfaltigkeit" title="Differenzierbare Mannigfaltigkeit">differenzierbare Mannigfaltigkeiten</a> gibt es im Allgemeinen keine sinnvolle Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes. Dennoch kann der Begriff der Lebesgue-Nullmengen sinnvoll auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen werden: Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C\subset M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C\subset M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6880ed09f58ed35f74d1f8c973f57c2ac8a7ed99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.307ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C\subset M}" loading="lazy">, dann heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> eine Lebesgue-Nullmenge, wenn für jede <a href="Atlas_(Mathematik)" title="Atlas (Mathematik)">Karte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\colon U\rightarrow V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\colon U\rightarrow V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a4956be1e4004ef5b767f8607f9bb22341b3851.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.557ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\colon U\rightarrow V}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f723d3f8e37ae840ea12ea8fc56c164519daff8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> die Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\left(C\cap U\right)}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\left(C\cap U\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e181346d6b6e19523fad31143c1f848e6327ec9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.667ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle h\left(C\cap U\right)}" loading="lazy"> eine Lebesgue-Nullmenge in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> ist.<a href="#cite_note-broecker_jaenich-1">[1]</a>

Mit dieser Definition lässt sich der <a href="Satz_von_Sard" title="Satz von Sard">Satz von Sard</a> auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen. Im Fall von <a href="Pseudo-riemannsche_Mannigfaltigkeit" title="Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit">pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten</a> sind diese Lebesgue-Nullmengen identisch mit den Nullmengen bezüglich des Riemann-Lebesgueschen Volumenmaßes.<a href="#cite_note-amann_escher_mfkt-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> eine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-Nullmenge, dann gilt für die <a href="Indikatorfunktion" title="Indikatorfunktion">charakteristische Funktion</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1_{N}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1_{N}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b56493f6fef6a9f8aa141ca9e42c1ba88e9cd8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.115ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1_{N}=0}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy">-<a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="J%C3%BCrgen_Elstrodt" title="Jürgen Elstrodt">Jürgen Elstrodt</a>: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2.</li>

<li><a href="Heinz_Bauer_(Mathematiker)" title="Heinz Bauer (Mathematiker)">Heinz Bauer</a>: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-broecker_jaenich-1">↑ <a href="#cite_ref-broecker_jaenich_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-broecker_jaenich_1-1">b</a> <a href="Theodor_Br%C3%B6cker" title="Theodor Bröcker">Theodor Bröcker</a>, <a href="Klaus_J%C3%A4nich" title="Klaus Jänich">Klaus Jänich</a>: <cite style="font-style:italic">Einführung in die Differentialtopologie</cite> (= <cite style="font-style:italic">Heidelberger Taschenbücher</cite>. Band 143). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / u. a. 1990, ISBN 3-540-06461-3, § 6. Der Satz von Sard, Definitionen 6.1 und 6.3, S. 58–59 (Korrigierter Nachdruck. Mit „differenzierbar“ ist hier immer <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C^{\infty }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C^{\infty }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.673ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle C^{\infty }}" loading="lazy"> gemeint.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullmenge&rft.atitle=%C2%A7+6.+Der+Satz+von+Sard%2C+Definitionen+6.1+und+6.3&rft.au=Theodor+Br%C3%B6cker%2C+Klaus+J%C3%A4nich&rft.btitle=Einf%C3%BChrung+in+die+Differentialtopologie&rft.date=1990&rft.genre=bookitem&rft.isbn=3540064613&rft.pages=58-59&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg+%2F+u.+a.&rft.pub=Springer+Verlag&rft.series=Heidelberger+Taschenb%C3%BCcher" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-amann_escher_lbsg-2"><a href="#cite_ref-amann_escher_lbsg_2-0">↑</a> Herbert Amann, <a href="Joachim_Escher_(Mathematiker)" title="Joachim Escher (Mathematiker)">Joachim Escher</a>: <cite style="font-style:italic">Analysis III</cite>. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel IX. Elemente der Maßtheorie, 5. Das Lebesguesche Maß, Theorem 5.1(v), S. 41.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullmenge&rft.atitle=Kapitel+IX.+Elemente+der+Ma%C3%9Ftheorie%27%27%2C+5.+%27%27Das+Lebesguesche+Ma%C3%9F%2C+Theorem+5.1%28v%29&rft.au=Herbert+Amann%2C+Joachim+Escher&rft.btitle=Analysis+III&rft.date=2008&rft.edition=2.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783764388836&rft.pages=41&rft.place=Basel&rft.pub=Birkh%C3%A4user+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-amann_escher_mfkt-3"><a href="#cite_ref-amann_escher_mfkt_3-0">↑</a> Herbert Amann, <a href="Joachim_Escher_(Mathematiker)" title="Joachim Escher (Mathematiker)">Joachim Escher</a>: <cite style="font-style:italic">Analysis III</cite>. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel XII. Integration auf Mannigfaltigkeiten, 1. Volumenmaße, Satz 1.6, S. 409.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Nullmenge&rft.atitle=Kapitel+XII.+Integration+auf+Mannigfaltigkeiten%27%27%2C+1.+%27%27Volumenma%C3%9Fe%2C+Satz+1.6&rft.au=Herbert+Amann%2C+Joachim+Escher&rft.btitle=Analysis+III&rft.date=2008&rft.edition=2.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783764388836&rft.pages=409&rft.place=Basel&rft.pub=Birkh%C3%A4user+Verlag" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>